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JavaScript《楕円の方程式》/ 直線の傾きとベクトル方程式
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図形の基本(線分と円)

 

  これからパソコンの画面に描いていく図形の基礎・基本は、直線(正確には線分)と円になります。

 

―― と、前回の冒頭に書いて、直線は数学的にどのように表現されるのかを調べてきました。今回は、円について、少し考えてみましょう。

 

 前回の繰り返しになりますけれど実は、ユークリッド幾何学の定義では、直線と円を区分できないのではないかと、疑っているのです。
 前回参照した、バブアー 別注 1986 BEDALE WITH FOOD/ビデイル フード付きの邦訳によれば、その「第 1 巻」の最初の〈定義〉に、
などの、数学的な約束ごとが書かれていました。そこでいま一度、〈直線の定義〉【定価35200円】Dr.Martens 8ホール ジャングルブーツ
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と記述される二元一次方程式の枠内にあるとは、限らないのではないか、ということなのです。

 

―― このことについて前回に考えを述べた一節を再掲します。
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  かくして「定義 4.」によって、ユークリッドの〈直線の定義〉は「直線とはその上にある点について一様に横たわる線である」と、いうことになるのですけれども、そこでは平面図形を考察の対象としているからでしょうか、曲率(曲線または曲面のまがりの程度)がゼロであることが示されていないため、あろうことか、〈円周〉についても「その上にある点について一様な曲がりかたで横たわる線である」と、同様の表現ができることになってしまいます。
―― となればならぬか、「その上にある点について一様に横たわる線」がそのまま、ただちに《無限の長さ》をもつことにはならなくなってしまうのですね。

 ○ ここで辞書の記述もまた、再確認しておきましょう。

ちょくせん【直線
①まっすぐのすじ。まっすぐな線。
②〔数〕終始同一方向をもつ線、二点間を最短距離で結ぶ線、n 次元空間内で助変数 t により座標が t の一次式 xiaibi t (i = 1, 2, , n ) で与えられる点 (ウールリッチウーレンミルズ ブルゾン1, x2, ルイ・ヴィトン ビジネスバッグ, xn ) の軌跡、などと定義される概念。ユークリッド幾何学においては、点・平面とともに基礎的な対象物、無定義用語として扱う。
ちょくせんきょり【直線距離
二点を結ぶ直線に沿う距離。幾何学上の最短距離。

 

 ◈ 辞書の説明にあるように、直線が「二点間を最短距離で結ぶ線」だとして、その座標が〝球面座標〟である場合を、地球表面の 2 地点を例に考えてみましょう。
 たとえば飛行機が〝二点間を最短距離〟で飛ぼうとする際には、〝地球の中心と二点間を結ぶ線〟を想定して、その 2 つの線を含む平面で地球を半分に切った円を考えます。その円の円周をふたつに分けているふたつの地点を見て〝二点間の距離の短いほう〟が、〝二点間の最短距離〟になるので、その上空を飛べばいいわけです。

 

A  °    ||    B  °
[ ※ 左の図は球体ではなく、仮に、円を平面図形で表現していて、円周上の 2 点を A, B とします。]
[ ※ 左の図で円周の太線の部分を AB といい、また線分 AB AB といいます。]
[ ※ 右の図の円は、 AB の長さを直径としています。参考として、 AB と同じものも描いています。]

 ⛞ コピペして、そのまま使えるように、JavaScript プログラムに関する全文を掲載します。
【 ※ サンプル・プログラム(見本)として公開します。】
【 ※ プログラムそのままの利用や一部のスクリプトの改変などは自由ですが、すべて自己責任で願います。】

 

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◎ さて。このとき〝二点間の最短距離〟を一部分として含む「二点間を最短距離で結ぶ線」のすべては、その円の円周上の点の集合となりますので、はてさて、いくら無限に伸ばそうとしてもいかんせん有限な長さとなってしまい、ようするに無限ではなくなるのです。
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◎ このあとすぐ見るように、ユークリッド幾何学には、
円とは、平面上の、その周といわれるただ一つの線によってかこまれた図形であって、その内部の 1 点からその線にいたる線分がすべて相等しいものである。
という円についての前提条件があって、中学向けの参考書では、点 O を中心とする半径 r〈円の定義〉は〝平面上の点 O から等距離 r にある点の集まり〟というふうに、説明されています。
 ◈ つまり、平面上の 1 点から等距離にある点の集合を、といっているわけです。
 ◈ この点の集合は《円の方程式》として表現することができ、デッドストック セイコー Alba Aqua Gear APBT075
x2 + y2 = r2

 

 
公理とユークリッド幾何学

 

 ○ しかしながらも、なにはともあれ、古代ギリシャに展開したユークリッドの幾何学は、現代の数学的思考の基盤になっているのです。そのことについての、専門家の解説を参照しておきましょう。

まえがき
 (p. 3)
 本書は 1955 年に小山書店から出版された『新初等数学講座』を構成する諸書のうちの二冊:
公 理(彌永昌吉・赤攝也)
基礎論(赤攝也)
を合わせて一冊としたものである。(なお、この『新初等数学講座』は 1963 年にダイヤモンド社より再刊された。)そのうちの「公理」が本書の第 1 章、「基礎論」が第 2 章と第 3 章になっている。一冊にする際、書名を『公理と証明』とした。

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§1 公理とは何か
 〝公理とは何か〟という問に対して、辞書に書いてあるように〝それは理論の基礎になる命題である〟とでも答えるならば、一応の説明にはなるであろう。しかしそれでは、〝理論〟とは何か、〝基礎になる〟とは何のことか、〝命題〟とは何か、と追求される熱心な読者があることであろう。
 実は、そのように追求してゆく精神があればこそ、公理などというものに人類が到達したのである。
§2 ギリシアの数学
 (pp. 12-13)
 エジプトやバビロニアの実態が知られるようになったのは比較的近年のことである。1930 年代から、そのころゲッチンゲンにいた(のちアメリカに渡った)オットー・ノイゲバウアー (O. Neugebauer, 1899~1990) がクサビ形文字でしるされたバビロニアの数学文献を解読して、ハムラビ王朝のころ(紀元前 1700 年ごろ)発達していた数学の内容をだいぶ明らかにした。エジプト文献の解読は、それ以前からも行われていたが、この方面の研究もやはり 1930 年代から著しく進歩したのである。19 世紀の終りから 20 世紀の初めにかけて出版された有名なモーリツ・カントルの数学史の書物などには、ギリシア以前のことはほとんど書いてない。
 しかし〝数学がギリシアでできた〟という〝定説〟の根拠はカントルの責任ではない。最近の数学史の進歩によっても、あるいは進歩すればするほど、ギリシア以前の数学と、ギリシア以後の数学との間には、(たとえ同じ〝数学〟の名で呼ぶにしても)本質的な区別のあることが明らかになってくるのである。その本質的な区別を一口でいえば、ギリシア以前の数学には〝公理がなかった〟ということである。語をかえていえば、ギリシアではじめて理論の基礎 ―― 公理というものを明らかにしたところの体系化された数学が現われたのである。今日の数学はギリシアでできた思想をそのまま受けついで進んでいる。その意味で、ギリシアで数学ができた、ということが定説として受け入れられているのである。
§3 プラトン、アリストテレス、エウクレイデス
 (pp. 14-15)
 ギリシア人は合理的に考えることを好む民族であった。それはプラトンの諸著作の中に批判の対象として扱われているソフィストの言論にもすでに見られる。プラトンは理路整然と展開されるソクラテスの対話のうちにかれの理想主義の哲学を述べた。その中には、数学についても一再ならず言及がなされている。アリストテレスに至っては、次の明確な記述がある:
 〝証明的な学問は、証明されない原理 ―― 第一原理 ―― から出発しなければならない。そうでなければ、証明はどこまでも続いて終るところがないであろう。これらの証明されない原理のうち、あるものはすべての科学に共通であろう。また他のものはその科学に特有なものであろう。このすべての科学に共通な原理を公理という。例えば、等しいものから等しいものをとり去った残りは相等しい、という原理がそれである。……〟(アリストテレスはここで公理 axiom という語(の原語)を用いている。原語のギリシア語としての意味は、正しいこと、価値あること、というような含みである。)
 ギリシア数学の集大成とみられるエウクレイデス(ユークリッド)の〝ビジネスシューズ 革靴 ラルフローレンパープルレーベル〟(原論)は、〝証明的な学問〟の最初の例であった。プラトンの諸著作にあらわれるソクラテスも〝理路整然〟といろいろなことを証明してはいるが、それは弁証法的、文学的であって、とうていストイケイアの本格的な〝証明〟には及ばない。このストイケイア自身一朝一夕にできたのではないのであって、エウクレイデスは編集者にすぎないともいわれているが、ともかくここに〝証明によって組織づけられた体系的な学問〟の典型が与えられた。これはギリシアの文化遺産としても最大のものの一つであった。
§4 ストイケイアの書き出し
 (pp. 15-18)
 ストイケイアの最初の部分は、わが国でもすでに何回か紹介されている(たとえば、近藤洋逸、黒田孝郎両氏の〝数学史〟(中教出版)、彌永昌吉の〝現代数学の基礎概念〟上(弘文堂)、吉田洋一氏および赤攝也の〝数学序説〟(培風館)等)。
 それを読むのはかなり退屈であるが公理がどういうものかを知るには一度は見ておかなければならないものであるから、ここに再録することにする。
 つぎに〝面〟〝平面〟〝角〟〝平角〟〝直角〟〝鋭角〟〝鈍角〟(定義 5 ―定義 12)の定義があるが、ここでは省略する。
  1.  境界とは、或る物の終るところである。
  2.  図形とは、一つ或いは多くの境界によってかこまれたものである。
  3.  円とは、平面上の、その周といわれるただ一つの線によってかこまれた図形であって、その内部の 1 点からその線にいたる線分がすべて相等しいものである。
  4.  その 1 点を円の中心という。
 このつぎには、〝直径〟〝半円〟〝直線図形〟〝三角形〟〝四辺形〟〝多辺形〟〝等辺三角形〟〝二等辺三角形〟〝不等辺三角形〟〝直角三角形〟〝正方形〟などの定義が述べられ、そして最後には〝平行〟の定義がやってくる。
  1.  同一平面上にある二つの直線は、その各々を両方に限りなく延長しても交わらないとき、平行であると称する。

 

 

§5 ストイケイアの構成
 (pp. 19-21)
 まず、上にも見られる通り、ストイケイアは〝定義〟から書きはじめられる。これは、周知のごとく、以下の理論の中に用いられることばの意味を限定するためのものに他ならない。
 一般に、学問においては、用語の意味がはっきりしていない場合には、議論をすすめるのに非常に不便であるのみならず、しばしば、重大な困難のあらわれることがあるのである。それは、例えば〝大きい〟というようなごく卑近なことばでさえも、その使い方をはっきり限定しておかないと、〝地球は大きい〟〝いや小さい〟などと、収拾がつかなくなってしまうことからも察せられるであろう。
 したがって、エウクレイデスは、理論をはじめるに際し、その理論の中にでてくる種々のことばを、十分わかったことばを基礎として、はっきり限定しようとするのである。それが〝定義〟に他ならない。
 さて、その定義のつぎには〝公準〟及び〝公理〟がくる。
 上に引用したアリストテレスのことばの中にも見られるように、すべての証明的な学問は、証明されない〝第一原理〟から出発しなければならない。
 そもそも、なにものかを主張するためには、その根拠となるものが必要である。ところで、その根拠となるものを主張するためには、またその根拠が必要となってくる。この限りのない操作をどこかで打ち切るためには、どうしても、他の根拠をもちだしてきて証明する、というような必要が全くない位あきらかな〝原理〟を探しださなくてはならないであろう。―― アリストテレスのいうのは、こういう意味なのである。
 ところで、エウクレイデスは、アリストテレスもいったように、この第一原理には、すべての学問に共通なものと、或る学問に特有なものとの二種があると考えたのであった。しかして、その前者をアリストテレスと同様〝公理〟と名づけ、また、後者に相当するものを〝公準〟と称しているのである。
 いずれにせよ、これらは、ストイケイアに展開される理論の基礎となるものであり、したがって、ストイケイアが正しい真理を伝えるものであるためには、これらは、すべての人に対して、何らの証明なしに、極めて明らかなものと認められなければならない。
 事実、これらの命題は、一々読んで見ればわかる通り、それぞれ、いかにも、もっともなことを主張しているわけである。
 ところで、話はかわるが、よく考えて見れば、アリストテレスやエウクレイデスの採用した公理と公準との区別は、厳密にいえば極めてむずかしいことなのである。例えば、〝互に他をおおうものは相等しい〟などという命題が、このストイケイアの関係する学問 ―― 幾何学 ―― 以外にそんなに必要なものであるかどうかは、たいへんうたがわしい、とも考えられるであろう。
 一方、論理的にいえば、公理も公準も、ともに理論の基礎となるところの命題なのであって、その役割には、別に軽重もなければ、また部面の区別も見られない。
 このようなところから、後世、その名称の使いわけは廃止され、一つの学問に必要な第一原理は、すべてこれを一律にその学問の〝公理〟というようになったのであった。
 われわれが本書で関与する〝公理〟とは、アリストテレスやエウクレイデスのいう公理ではなく、今のべたような〝学問の第一原理〟としての公理なのである。

 


 

The End of Takechan
直線のベクトル方程式
 ○ ベクトル方程式についての解説を、ブルーバックスから参照して、そのあとに直線の傾きを考えてみます。

 第 1 章 ベクトル・初めの一歩

 

基礎の基礎
 (pp. 8-9)
 A の位置にあった点が B まで動いたとき、途中の経路を無視して右図〔図は省略〕のように矢線↗で示したものを有向線分 AB、記号では AB と表し、A を始点、B を終点といいます。
 これに対しベクトルは、有向線分と同じように向きと大きさを持った量ですが、同じ向きと大きさであれば A を始点としなくても等しいと見なすところが、単なる有向線分 AB とは異なります。
 たとえば、x 方向の変位が a1y 方向の変位が a2 の右図〔図は省略〕のような有向線分はすべて同じものと見なし、これらをまとめてベクトルと称し、記号で a と書き表します。ベクトル AB と言うこともありますが、このときの ABa 族を指し示す 1 つの代表としての呼称なのです。
 なお、a1a2 をベクトルの成分といい、これを用いてベクトル aa⃗ = (a1, a2) と表すとき、これを a の成分表示といいます。

 

位置ベクトルと点
 (p. 15)
 平面上に一点 O を固定して考えると、平面上の任意の点 P は有向線分で OP と書ける。逆に、ベクトル p美品 850FIL SUMMIT SERIES フードダウンジャケット メンズM を与えると、OP = p の終点として点 P が定まるから、平面上の点 PO からのベクトル p 1 1 に対応します。この p を点 O に関する点 P の位置ベクトルといい、位置ベクトル p をもつ点 PP (p⃗) と書き表します。
 第 6 章 直線の方程式と円の方程式

 

直線のベクトル方程式
 (pp. 104-105)
先生 1 次方程式、たとえば y = (1∕2) x + 1 が座標平面上で直線を表すことは、中学で学習していますが、初めて習ったときのことを思い出しながら、この直線を描いてみよう。
太郎 まず、y 切片 (0, 1) をドットして、次に傾きを考えて、そこから x 座標で 2 進むと y 座標が 1 増えるように直線を伸ばしていきます。
先生 そうです。どこか通る 1 点( y 切片)と傾きをもとに描きますね。これをベクトルに置き換えるとどうなるか、考えてみましょう。
 通る点 A (0, 1)a⃗ = (0, 1) とし、傾き、つまり 2 進むと 1 上がることをベクトルで d⃗ = (2, 1) と表します。すると、直線上の任意の点 P (x, y) は、この点の位置ベクトルを OP = p とおくと、ad とパラメーター t によって、
p⃗ = a⃗ + td ……… ①
[ (x, y) = (0, 1) + t (2, 1) ……… ①´ ]
と表すことができます。t は実数値で、t の値が 1 増すごとに d 1 スパンずつを刻みながら動いていって、P は直線を形成していくわけです。
 ① あるいは ①´ を、直線のベクトル方程式といいます。

 

 (pp. 105-106)
先生 d はその飛んで行く方向を(大きさも含めて)表していて、方向ベクトル (direction vector) と呼ばれます。
 ベクトル方程式 p⃗ = a⃗ + td を見たら、d 方向に時間 t と共に定速で動く点 P 【ヴィンテージ】裏起毛 フリースパーカー ジャケット 古着 used AS85p⃗) を思い浮かべてほしいものです。
 一般に、定点 A (a⃗) を通り、定ベクトル d に平行な直線 l は、l 上の任意の点を P (p⃗) とすると、APd だから適当な実数 t によって AP = td すなわち、p⃗ - a⃗ = td と書けるから P (p⃗)p⃗ = a⃗ + td t は実数)と表すことができます。これが、一般の直線 l のベクトルによる方程式であり、d は方向ベクトルと呼ばれ、パラメーター t媒介変数ともいわれます。
 さて、今度は逆にベクトル方程式で p⃗ = a⃗ + td と表された直線を直交座標の方程式に直すことを考えましょう。
 点 A (x1, y1) を通り、方向ベクトルが d⃗ = (m, n) である直線 l の座標の間に成り立つ方程式はどうなるかな?
太郎 方向ベクトルは傾きの情報に変換できて、m ≠ 0 のときは傾きが nm ということですから、公式から
yy1 =    n   (xx1) ………(*)
 
 m 
となります。なお、m = 0 のときは y 軸に平行な直線だから、x = x1 と表されます。

 


 ● [切片]と[直線の傾き]の ベクトルの和(足し算) ●

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 [切片] a ( 0 , ) + [時間] t  × [傾き] d  °
 〔 ※ ただし、[時間]t = 1 のとき、 [傾き]d の長さを円の半径 r = 1 とします。〕
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直線の傾きと互いに直交する直線
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╱ 一般的に、直線の傾きは m の記号が用いられますが、直線の傾き m とは、つまり x 1 増えるごとに、y がどの程度増えるかを計算したものなので、直線が原点を通るときには、単純に xy の値を割り算して、
♦  m =     y  
 
x
という簡単な式になるわけです。ここで〔左辺と右辺の〕両辺に x を掛けてみましょう。
     mxy
  ∴  ymx

 

◎ さらにこの ma に置き換えたら、原点を通る直線(比例)のグラフと、同じ式だと気がつくでしょう。


▶ さて、傾き m の直線がいつでも原点を通るわけではありません。そこで条件を追加して、点 (x1, y1) を通る場合を考えると、x 軸と y 軸それぞれで、座標の値の差を出してから割り算する式になります。
◈  m =     yy1  
 
xx1
   ●  yy1m (xx1)

 

▸ この方程式[ yy1m (xx1) ]が、《点 (x1, y1) を通る 傾き mアニエス ベー ボヤージュ トートバッグ

◎ またこの条件を〝点 (0, b) を通る傾き a の直線〟とするなら、切片が追加された比例の式になります。

 

a =     yb  
 
x
   axyb    [ ⇒ axby ]

 

∴  yaxb

 


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▶ さてさて。点 (x1, y1) を通る傾き m の直線が、今度はさらに、点 (x2, y2) も同時に通る場合を考えて、方程式を作成してみましょう。まったくもって同じような、引き算と割り算を使った式を書けばいいわけです。
◈  m =     y2y1  
 
x2x1

 


▸ この方程式の m と、先の方程式[ yy1NIKE SPECIAL FORCE AIR FORCE 1 CHINOm (xx1) ]の m は、前提条件として同じ値となっているため、ふたつの方程式を〔それぞれの m にもうひとつの方程式の右辺を代入して〕組み合わせることで、数学の新しい方程式ができていくという、仕組みになっています。

 ◈  m =     yy1       [ ●  yy1m (xx1) ]
 
xx1
 ◈  m =     y2y1  
 
x2x1

▸ それぞれの組み合わせの結果、下記の《 2 (x1, y1), (x2, y2) を通る 直線の方程式》が成立するのです。
●  yy1  =     y2y1    (xx1)
 
x2x1
●     yy1     =     y2y1  
   
xx1 x2x1
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● 〝直交する直線〟の 公式 ●

 

▶ それぞれ傾き m1m2 のふたつの直線が、垂直に交わるときには、次の条件が成り立ちます。
  ● m1 m2 = - 1

 


▸ 垂直に交わる直線を区別して書く際、傾き m1m2 の直線の方程式は、たとえば次のように書きます。
 ◈  ym1 xn1    [ y1m1 x1n1 ]
 ◈  ym2 xn2    [ y2m2 x2n2 ]

╱ GUCCI キャップ 今日限定36000円に下げます、直線の傾き m とは、つまり x 1 増えるごとに、y がどの程度増えるかを計算したものなので、直線が原点を通るときには、単純に xy の値を割り算すれば、そのまま傾きの値になったのでした。
[回転]   °

 

▶ そこで、次の式が成立します。
♦  m1 =     y1  
 
x1
♦  m2 =     y2  
 
x2
◎ 公式により、mエンポリオアルマーニ EA7長袖パーカー m2 = - 1 とすると、
●      y1     ×     y2     = - 1
   
x1 x2
∴     y2     = - 1 ×     x1  
   
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ということは、ようするに、
∴  m2 =   x1
 
  - y1  
である場合〔など〕に、垂直に交わる直線の公式が成り立っているようだ、ということが理解できます。
〔 ※ 見本は y1 ですが、分母と分子を入れ替えて、x, y 座標のどちらかに、- 1 を掛けたら、成立します。〕

◎ 上の図は、実際そうであるのか[ (x2, y2) = ( -y1, x1) ]を具体的な数字を使って検証するために、作図したものです。各辺の比が 3 : 4 : 5 の三角形が直角三角形になることを利用すると、理解しやすく計算も簡単です。

 

 最初に、P (x1, y1) = (4, 3) の座標を基準に直角三角形を作って検証します。その後の作業で、それを回転させても同様であることが、見た目で確認できるはずです。
P の傾きを m1 とし、Q の傾きを m2 としたとき、最初の座標は Q (x2, y2) = (-3, 4) になります。
〔 ※ なお、傾きは x, y 座標の比率ですので、 (x1, y1) = (4, 3)(x2, y2) = (-30, 40) でも、同じ計算になります。〕
m1 × m2 =     3     ×   4   = - 1
   
  4     - 3  

 

▸ あとは、図の三角形を回転させてから、座標を読み取って、それぞれで計算してみてください。

❖ JavaScript 1-3


⛞ 垂直に交差するふたつの直線に関しては、三角関数(三角比の関数)で計算すると理解しやすい場合がありますので、あらためてもう一度、考えてみたいと思います。
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